Théorème de comparaison

Dans cette perle,  \(\alpha\) désigne \(-\infty\) ,  \(+\infty\)  ou un réel.

Théorème

Soit  `f` et  `g` deux fonctions telles que, au voisinage de  \(\alpha\) , on a \(f(x) \leqslant g(x)\) .

• Si \(\lim\limits_{x \to \alpha}f(x)=+\infty\) , alors \(\lim\limits_{x \to \alpha}g(x)=+\infty\) .
  
• S i \(\lim\limits_{x \to \alpha}g(x)=-\infty\) , alors \(\lim\limits_{x \to \alpha}f(x)=-\infty\) .
  

Énoncé

On considère une fonction \(f\)  définie sur \(\mathbb{R}\) et telle que, pour tout réel \(x \in [0\ ;+\infty[\) , \(f(x)\geqslant \sqrt{x}\) .
Déterminer \(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)\) .

Solution

\(\lim\limits_{x \to +\infty}\sqrt{x}=+\infty\)  donc, d'après le théorème de comparaison, \(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty\) .